Oh da kommt mein Studium wieder zurück.
Luftwiderstand = 1/2 * ρ * cw * A * v² , wobei
ρ Luftdichte
cw Widerstandsbeiwert
A Stirnfläche (Projektilstirnfläche)
v Geschwindigkeit
ist.
Wichtig ist, dass der Luftwiderstand nicht konstant ist und auch nicht linear ist. Der Luftwiderstand hängt quadratisch von der Projektilgeschwindigkeit ab.
Bedeutet: Je mehr der Pfeil abgebremst wird, desto mehr ändert sich der Luftwiderstand.
Das ist em Ende eine Differentialgleichung 1. Ordnung.
Gehen wir von gleichen Bedingungen beider Pfeile aus (gleiches Gewicht, gleiche Befiederung...), so ist nur die Stirnfläche A am Anfang unterschiedlich.
Bei einem Beispiel von 5 mm vs 7 mm Pfeilschaftdurchmesser haben wir also 19,63 mm² und 38,48 mm² und damit fast Faktor 2 zwischen diesen beiden.
Der Widerstandsbeiwert ist irgendwas zwischen 0,5 und 1,5 in der Literatur für Pfeile, daher sage ich mal 1.
Der Formel nach haben wir bei 60 m/s Pfeilgeschwindigkeit und 1,2 kg/m³ Luftdichte bei 5 mm 0,042 N und bei 7 mm 0,083 N Luftwiderstand.
Das gilt für den Moment des Lösens.
Mit der Flugdauer wird der Luftwiderstand gegen die Flugrichtung wirken und den Pfeil abbremsen. Mit dem Abbremsen nimmt der Luftwiderstand ab.
Mit der DGL 1. Ordnung kann man sich das ganze über die Pfeilgeschwindigkeit anschauen, mit der DGL 2. Ordnung auf die Distanz aufgelöst.
Die Pfeilgeschwindigkeit wird nichtlinear wegen der v² Geschichte abfallen.
Für einen Pfeil mit 30 Gramm Gewicht komme ich auf folgende Werte nach einer Sekunde Flugdauer:
t (s) v 5 mm (m/s) x 5 mm (m) v 7 mm (m/s) x 7 mm (m)
0,0 60,00 0,00 60,00 0,00
0,1 59,86 5,99 59,72 5,99
0,2 59,72 11,97 59,45 11,94
0,3 59,58 17,94 59,18 17,88
0,4 59,44 23,89 58,91 23,78
0,5 59,30 29,82 58,65 29,66
0,6 59,16 35,75 58,38 35,51
0,7 59,03 41,66 58,12 41,34
0,8 58,89 47,55 57,86 47,13
0,9 58,75 53,44 57,61 52,91
1,0 58,62 59,30 57,35 58,66
0,042 -> 0,0387 = delta 0,0033
0,083 -> 0,0759 = delta 0,0071
Nach einer Sekunde Flugdauer gäbe es in diesem Beispiel nur 1,27 m/s Geschwindigkeitsunterschied. Dabei ändert sich nach dieser Sekunde der Luftwiderstand um 0,0033 N bei 5 mm und um 0,0071 N bei 7 mm. Die Änderung des Widerstandes bleibt also vergleichsweise gering. Daher wird die Stirnfläche den größeren Einfluss haben.
In Realität dürfte der Unterschied aber deutlich größer ausfallen, weil der Pfeil nicht unendlich steif ist und im Flug eine stehende Welle entlang zweier Knotenpunkte beschreibt (er wobbelt im Flug). Dieses wobbeln ändert die Stirnfläche in der Ausgangsformel in Form einer geämpften Sinusschwingung (irgendwas ovalförmigs in der Fläche mit 1/e² Dämpfung). Außerdem wird ein nicht unerheblicher Teil der kinetschen Energie in eine Rotationsenergie gewandelt (durch die Neigung der Federn). Diese Rotation erhöht die Reibung noch mehr. Die Verwirbelung am Schaftende trägt auch noch bei.
Also was machen wir also mit dem Gehirngulasch hier, den sich bestimmt nur 2-3 Leute durchlesen werden?
-> Rein von der Formel und der Physik und der Theorie her müsste ein Pfeil mit kleinerem Durchmesser aber sonst identischen Werten schneller fliegen. Der dünnere Pfeil „konserviert“ seine Geschwindigkeit besser. Der 7-mm-Pfeil startet mit deutlich höherem Widerstand und verliert deshalb schneller seine Geschwindigkeit und zwar fast mit dem Faktor 2 des Flächenunterschiedes.
-> Der Geschwindigkeitsunterschied wächst also doppelt schnell bei doppelt so großer Fläche. Der allgemeine Unterschied ist aber nicht sonderlich groß.
Habt einen schönen Abend und ein leckeres Bierchen
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